Lưu trữ

Bài tập số học (tờ số 3)

Tháng 1123

1. Cho hai số nguyên tố p, q phân biệt và số nguyên dương a thỏa mãn 1+a+a^2+...+a^{q-1} \vdots p. Chứng minh rằng: p \equiv 1(\bmod q).
2. Cho số nguyên tố p thỏa mãn p \equiv 2(\bmod 3). Chứng minh rằng với mỗi số nguyên n luôn tồn tại vô số số nguyên m thỏa mãn n \equiv m^3(\bmod p).
3. Tìm các số nguyên tố p, q thỏa mãn \left. {pq} \right|(3^p - 7^p )(3^q - 7^q )
4. Cho p nguyên tố lẻ, a và b nguyên thỏa mãn: (a,p)=1, a \equiv b(\bmod p). Chứng minh rằng: Với mọi số nguyên dương n luôn có v_p (a^n - b^n ) = v_p (a - b) + v_p (n).
5. Tìm số nguyên dương n lớn hơn 1 thỏa mãn: 2^n + 1 \vdots n^2 .
6. Cho số nguyên tố p thỏa mãn p \equiv 1(\bmod 3). Chứng minh rằng tồn tại số nguyên x thỏa mãn x \ne 1(\bmod p) và x^3 \equiv 1(\bmod p) .
7. Cho số nguyên tố p, p \equiv 1(\bmod 3) và hai số a, b nguyên dương thỏa mãn: Nếu x, y nguyên thỏa mãn ax^3 + bx \equiv ay^3 + by (\bmod p) thì x \equiv y (\bmod p). Chứng minh rằng: b không chia hết cho p và a chia hết cho p.
8. Cho số nguyên dương n lớn hơn 5. Chứng minh rằng không tồn tại p, q nguyên dương thỏa mãn: p+q=n và 2^{n+1}-1=3^p+2.3^q
9. Cho số nguyên tố p và số nguyên dương n thỏa mãn: p không lớn hơn ước nguyên tố nhỏ nhất của n và 2^n+1 \vdots p. Chứng minh rằng p = 3.
10. Chứng minh rằng không tồn tại ba số nguyên dương đôi một nguyên tố cùng nhau thỏa mãn: 2^a+1 \vdots b, 2^b+1 \vdots c, 2^c+1 \vdots a
11. Chứng minh rằng không tồn tại số nguyên dương n thỏa mãn 2^n-1 \vdots n
12. Chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn: x^2=y^z-3, z \equiv 3 (\bmod4).
13. Cho ba số nguyên dương a, b, c thỏa mãn (a, b, c)=1. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương n sao cho với mọi số nguyên dương k luôn có a^k+b^k+c^k không chia hết cho 2^n
14. Cho số nguyên tố p thỏa mãn p \equiv 1(\bmod 4).
a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương a \in \{ 1;2;...;\frac{{p - 1}}{2}\} luôn tồn tại duy nhất số nguyên dương b \in \{ 1;2;...;\frac{{p - 1}}{2}\} thỏa mãn a^2+b^2 \equiv 0 (\bmod p).
b) Chứng minh rằng: \sum\limits_{k = 1}^{\frac{{p - 1}}{2}} {\left( {\left[ {\frac{{2k^2 }}{p}} \right] -2. \left[ {\frac{{k^2 }}{p}} \right]} \right)} = \frac{{p - 1}}{4}
c) Chứng minh rằng: \sum\limits_{k = 1}^{\frac{{p - 1}}{2}} {\left[ {\frac{{k^2 }}{p}} \right]} = \frac{{(p - 1)(p - 5)}}{{24}}

(Còn nữa)

Bài tập số học (tờ số1)
Bài tập số học (tờ số2)